キャラクターにRigidBodyコンポーネントを追加しても重力が作用しなかったので、調べてみるとCharacterControllerのMove関数にスクリプトから重力を加えないといけない。詳しくは
http://docs-jp.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/CharacterController.Move.html
でもジャンプモーションの時に重力を作用させると動きがおかしくなってしまうので、ジャンプモーション中は重力を作用させないようにスクリプトする必要がある